一句话

斜面上的一切判断，最后都落到同一个比较：μ 与 tanθ 谁大。

为什么是 tanθ（推导）

沿斜面：下滑分力 mg sinθ；垂直斜面：N = mg cosθ，最大静摩擦 f_max = μmg cosθ。

质量 m 被约掉了 —— 所以"能不能停住"与物体多重无关，只与 θ 和 μ 有关。

四种情形（背结构，不背题）

• 静止：f = mg sinθ（静摩擦，由平衡条件求，不能写 μN），N = mg cosθ，且必须 μ ≥ tanθ。
• 下滑：f = μmg cosθ 沿斜面向上，合力 mg sinθ − μmg cosθ，加速度 g sinθ − μg cosθ。
• 上滑：f = μmg cosθ 沿斜面向下，合力 mg sinθ + μmg cosθ，加速度 g sinθ + μg cosθ。
• 上滑到最高点后：μ ≥ tanθ 就停在顶点；μ < tanθ 再滑回来，且两段加速度不同。

易错

• 静止时写 f = μN —— 静摩擦只能由平衡条件求。
• 上滑时把摩擦力画成沿斜面向上。
• 以为"越重越容易停住" —— m 已经约掉。

认它的三个信号

• 三个力，其中两个力大小相等：同一根绳的两段、对称的两根绳、两只手的拉力。
• 第三力（多半是重力）落在两等大力的角平分线的反向延长线上。
• 图形像一个"Y"：两条斜边等长，竖边是它们的合力。

四个特点（判"变大变小"全靠它）

1. 第三力必在两力夹角平分线的反向延长线上；
2. T 不变时：θ 增大 → F 变小；θ 减小 → F 变大；
3. F 不变时：θ 增大 → T 变大；θ 减小 → T 变小；
4. F、T、θ 三个量，任意两个不变，第三个一定不变。

三个特殊角（考试常直接给）

• θ = 60° → F = √3 T
• θ = 90° → F = √2 T
• θ = 120° → F = T（最常考：两绳夹角 120° 时绳力等于合力）

四两拨千斤：θ 越接近 180°，绳越"平"，同样的 F 需要越大的 T —— 所以晾衣绳不能拉得太直。

晾衣绳 / 活结：几何怎么算

同一根绳跨过光滑挂钩 → 两侧张力必然相等 → 一定是正Y。设两悬点水平距离 d、绳长 L：

• 只上下移动一端：d、L 都不变 → α 不变 → T 不变（变的只是挂钩高度）。
• 两杆距离变大：α 变大 → T 变大；距离变小 → T 变小。
• 两端不等高也没关系：光滑挂钩仍使两侧等角，sinα = d/L 照样成立。
• 典型题：P164 例1（圆环上手移）、P165 例3（动滑轮 P→Q）、P165 例4（晾衣绳+风）。

易错

• 把 θ 当成"绳与竖直方向的夹角" —— 公式里的 θ 是两段绳之间的夹角，等于 2α。
• 以为"绳越短越省力" —— 短则夹角大，T 反而更大。
• 两端不等高就认为两绳张力不等 —— 光滑环/挂钩上一定相等。

适用条件（两个都要满足）

• 三个力；
• 一个力恒定（通常是重力），另一个力方向不变，第三个力方向缓慢转动。

四步作图

1. 三力首尾相接，画成封闭三角形；
2. 定长边 = 恒力（重力）；定向边 = 方向不变的那个力；
3. 第三边随角度扫过，它的长度就是第三个力的大小；
4. 比较几个状态的边长，判断"变大 / 变小 / 先大后小"。

为什么垂直时最小

恒力定长、定向边固定，第三个力的端点被限制在一条直线上；点到直线的最短距离就是垂线段， 所以垂直时第三个力取最小值。

和另两种方法的边界

• 另两个力方向都变 → 不用图解法，改用相似三角形；
• 另两个力夹角不变 → 用正弦定理（拉密定理）/ 动态圆。

易错

• 把"方向不变"的力和"大小不变"的力搞混。
• 三角形没闭合就去找角度。
• 只画一个状态，没标出极值那一点。

结构：三力，其中两个天然垂直

重力 mg + 一个法向力 N（支持力或绳拉力）+ 一个与 N 垂直的力 F。

注意 N 不是 mg cosθ —— 多了一个力的分力以后，N 会随 F 变。

用途一：判摩擦力方向（最常用）

先假设"没有摩擦"，算出临界值，再看实际力落在哪一侧：

• 斜面上的物块受水平推力 F：无摩擦时 F₀ = mg tanθ。
• F > F₀ → 有沿斜面向上的趋势 → 摩擦力沿斜面向下；
• F < F₀ → 有向下趋势 → 摩擦力沿斜面向上；
• F = F₀ → 摩擦力恰好为零。

换成"斜块被垂直于斜面的力压住"，临界值变成 F₀ = mg / sinθ，判断方式完全一样。

用途二：解连接体

两球用弹簧吊着、绳跨过滑轮拉着，整体一画就是 gtanθ：水平方向 F = mg tanθ，斜向 T = mg/cosθ， 省掉整套分解。（典型：P153 变式3、P154 例3 石桥）

用途三：临界加速度 / 圆周运动

• 小车加速拉球：a > g tanθ → 球上升、绳角变大；a < g tanθ → 球下降。
• 圆锥摆、碗内圆周运动：向心加速度就是 g tanθ。

本质

gtanθ 永远对应"某个力恰好为零"的临界状态 —— 所以它既能判方向，又能求极值、求范围。

易错

• θ 取错：是 N 与竖直的夹角，不是与水平。
• 当成万能公式：只有"两力垂直"时才成立，三力不垂直就别套。
• 沿用"N = mg cosθ" —— 在 gtanθ 结构里 N = mg/cosθ。

什么叫自锁

不靠外力按住，只靠摩擦力把自己锁住 —— 撤掉推力，它也不会滑出来。

判据只有一个

推导：沿面下滑分力 mg sinθ ≤ 最大静摩擦 μmg cosθ，两边同除 mg cosθ 即得 tanθ ≤ μ。

三个典型场景

• 木楔：顶角 θ，每个侧面与轴线成 θ/2，所以自锁条件是 μ ≥ tan(θ/2)。 注意用的是半顶角，不是顶角。
• 沙堆：自然堆积的"休止角"就满足 tanθ = μ，所以看到 μ 就能反推堆角 （P169 例1：μ = 0.5 → 底角 26.6° → 体积约 60 m³）。
• 圆锥被捏住：把锥面等效成斜面，拿不起来 ⇔ 摩擦不足以抵抗下滑分力 ⇔ μ ≥ tan(顶角/2)。

反向用法

μ < tanθ 就一定滑。所以"斜面能不能停住"根本不用算具体力，只比 μ 与 tanθ 两个数。

易错

• 木楔把"顶角"直接代进 tanθ —— 应当用半顶角 θ/2。
• 把自锁当成"摩擦力够大" —— 它比较的是比值，与质量、压力大小无关。
• 把自锁与"恰好不下滑"混为一谈：自锁是撤掉驱动力后仍不滑，临界值同一个。