📐 匀变速直线运动 — 公式推导体系

所有公式源自 两个基本公式，点击每个公式展开推导过程。红色箭头=消去t，绿色箭头=代入平均速度。

基本公式 ①（定义式）
v = v₀ + at
由加速度定义：
a = (v − v₀) / t
→ v − v₀ = at
→ v = v₀ + at
基本公式 ②（位移公式）
x = v₀t + ½at²
由 v-t 图面积 = 位移：
x = 矩形 + 三角形
= v₀·t + ½·(v−v₀)·t
= v₀·t + ½·at·t
→ x = v₀t + ½at²
①代入②消去 t ↓ | ①求平均速度 ↓
推论 ③ 速度-位移公式
v² − v₀² = 2ax
由 ① 得 t = (v−v₀)/a
代入 ②：
x = v₀·(v−v₀)/a + ½a·(v−v₀)²/a²
= (v₀v−v₀²)/a + (v²−2v₀v+v₀²)/(2a)
= (v²−v₀²)/(2a)
→ v² − v₀² = 2ax
推论 ④ 平均速度
v̄ = (v₀+v)/2
匀变速运动中 v 均匀变化：
v̄ = (v₀+v)/2
（仅匀变速成立！）

由此得：
x = v̄·t = (v₀+v)/2 · t
④ + ③ → 特殊推论 ↓
推论 ⑤ 中间时刻速度
vt/2 = v̄
t/2 时刻：
vt/2 = v₀ + a·(t/2)
= (2v₀+at)/2
= (v₀ + v₀+at)/2
= (v₀+v)/2 = v̄
推论 ⑥ 逐差公式
Δx = aT²
连续相等时间 T 内的位移差：
x₁ = v₀T + ½aT²
x₂ = (v₀+aT)T + ½aT² = v₀T + ³⁄₂aT²
x₂−x₁ = aT²
→ Δx = aT²（打点计时器！）
💡 记忆技巧：只需记住 ① ② 两个基本公式，③~⑥ 全部可推导。考试时忘了推导公式？用 ① ② 硬算也能算出来。

📈 v-t 图 — 面积 = 位移

参数调节

初速度 v₀3 m/s
加速度 a1.5 m/s²
时间 t5.0 s
x = v₀t + ½at²
矩形面积 = — m
三角形面积 = — m
总位移 = — m

v-t 图下方面积 = 位移
梯形 = 矩形(蓝色) + 三角形(红色)

🚗 追击相遇问题

t=0.00s A:50m v=5.0 B:0m v=10 💡 拖拽车道上的车可直接改变起始位置
📈 速度-时间图（v-t） 面积 = 位移
📉 位移-时间图（x-t）
🔵 A 车
v₀5
a0
x₀50
🔴 B 车
v₀10
a0
x₀0
🎯 预设
等待开始…

📊 初速为零的匀变速 — 比例推论

v₀=0 时，由基本公式 v=at 和 x=½at² 可推导出以下比例关系。所有推论都来自两个基本公式。

⏱ 等时间间隔（v₀=0）

推论：速度比
v₁ : v₂ : v₃ : … = 1 : 2 : 3 : …
由 v = at，当 t = T, 2T, 3T, … 时：
v₁ = a·T
v₂ = a·2T = 2aT
v₃ = a·3T = 3aT
→ v₁:v₂:v₃ = 1:2:3（与时间成正比）
推论：每段时间内的位移比（奇数比）
xI : xII : xIII = 1 : 3 : 5
前nT总位移：Xn = ½a(nT)² ∝ n²
第1个T内：xI = X₁ = ½aT²
第2个T内：xII = X₂−X₁ = ½a(4T²)−½aT² = 3×½aT²
第3个T内：xIII = X₃−X₂ = ½a(9T²)−½a(4T²) = 5×½aT²
→ 1:3:5:…（奇数比，打点计时器！）
推论：前nT的总位移比（平方比）
X₁ : X₂ : X₃ = 1 : 4 : 9
Xn = ½a·(nT)² = n²·½aT²
→ X₁:X₂:X₃ = 1²:2²:3² = 1:4:9:16:…
总位移与时间的平方成正比。

📏 等位移间隔（v₀=0）

推论：速度比
v₁ : v₂ : v₃ = 1 : √2 : √3
由 v² = 2ax（v₀=0）：
过x处：v₁² = 2a·x → v₁ = √(2ax)
过2x处：v₂² = 2a·2x → v₂ = √(4ax) = √2·√(2ax)
过3x处：v₃² = 2a·3x → v₃ = √(6ax) = √3·√(2ax)
→ v₁:v₂:v₃ = 1:√2:√3
推论：每段位移内的时间比
t₁:t₂:t₃ = 1:(√2−1):(√3−√2)
由 x = ½at²：
第1个x内：½at₁² = x → t₁ = √(2x/a)
第2个x内：½at₂² = 2x → t₁+t₂ = √(4x/a) = √2·t₁ → t₂=(√2−1)t₁
第3个x内：t₁+t₂+t₃ = √3·t₁ → t₃=(√3−√2)t₁
→ t₁:t₂:t₃ = 1:(√2−1):(√3−√2)
推论：通过全程的总时间比
T₁:T₂:T₃ = 1:√2:√3
由 x = ½at²，t = √(2x/a) ∝ √x
→ 通过x, 2x, 3x的总时间比 = √1:√2:√3
T₁:T₂:T₃ = 1:√2:√3
💡 记忆技巧：等时间→奇数比（1:3:5），等位移→含根号（1:√2:√3）。所有推论均来自 v=at 和 x=½at² 两个基本公式。点击每个公式卡片查看推导过程。